Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Wartość oczekiwana zmiennej losowej

• Zmienna losowa to funkcja, która zdarzeniom elementarnym (z\Omega \textrm{)} Ω) przyporządkowuje liczby rzeczywiste.
• JeśliX X jest zmienną losową o wartościach\textcolor{#E94D00}{x_1},\textcolor{#E94D00}{x_2},\textrm{ ... },\textcolor{#E94D00}{x_n} x1, x2, ... , xn przyjmowanych z prawdopodobieństwem odpowiednio\textcolor{#75A600}{p_1},\textcolor{#75A600}{p_2},\textrm{ ... },\textcolor{#75A600}{p_n}, p1, p2, ... , pn, to wartością oczekiwanąEX EX tej zmiennej nazywamy liczbę:
  EX\! \; =\! \; \textcolor{#E94D00}{x}_{\textcolor{#E94D00}{1}}\textcolor{#75A600}{p}_{\textcolor{#75A600}{1}}\! \; +\! \; \textcolor{#E94D00}{x}_{\textcolor{#E94D00}{2}}\textcolor{#75A600}{p}_{\textcolor{#75A600}{2}}\! \; +\! \; \textrm{...}\! \; +\! \; \textcolor{#E94D00}{x}_{\textcolor{#E94D00}{n}}\textcolor{#75A600}{p}_{\textcolor{#75A600}{n}} EX​​=​​x1p1​​+​​x2p2​​+​​...​​+​​xnpn

Przykład

Rzucamy raz symetryczną monetą.
Zmienna losowaX X przyporządkowuje:

• reszce wartość\textcolor{#E94D00}{1}\left(x_1=\textcolor{#E94D00}{1},p_1=\textcolor{#75A600}{\tfrac{1}{2}}\right), 1 (x1  =  1, p1  =  12),
• orłowi wartość\textcolor{#E94D00}{0}\left(x_2=\textcolor{#E94D00}{0},p_2=\textcolor{#75A600}{\tfrac{1}{2}}\right). 0 (x2  =  0, p2  =  12).

Wartość oczekiwana zmiennej losowejX X jest równa:
EX=\textcolor{#E94D00}{1}\cdot \textcolor{#75A600}{\frac{1}{2}}+\textcolor{#E94D00}{0}\cdot \textcolor{#75A600}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} EX  =  1 ⋅ 12 + 0 ⋅ 12  =  12