Punkty wspólne prostej i okręgu o środku w dowolnym punkcie
Aby wyznaczyć punkty wspólne prostej y = cx + d i okręgu (x − a)2 + (y − b)2 = r2, należy rozwiązać układ równań:
{y = cx + d(x − a)2 +(y − b)2 = r2
Rozwiązanie układu równań metodą podstawiania
{y = x + 1(x − 2)2 + (y − 1)2 = 2
Do 2. równania za y wstawiamy x + 1 i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
(x − 2)2 + (x + 1 − 1)2 = 2
x2 − 4x + 4 + x2 = 2
2x2 − 4x + 2 = 0∣ : 2
x2 − 2x + 1 = 0
(x − 1)2 = 0
x = 1
Stąd y = x + 1 = 2.
Układ spełnia para liczb {x = 1y = 2
![Zielona prosta (y = x+1) styczna do niebieskiego okręgu [(x-2)^2+(y-1)^2 = 2] w punkcie (1, 2).](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/copy/488751009478340e728921771490a50f-64f1dfa5576db7b007153979c4b2d71e.gif)
W tej lekcji:
wyznaczanie punktów wspólnych prostej i okręgu
jak rozwiązać układ równań prostej i okręgu
- Dostęp do 9 przedmiotów
- Płatność co miesiąc
- Zrezygnuj kiedy chcesz!
Nie lubisz kupować kota w worku?
Sprawdź, jak wyglądają lekcje na Dla Ucznia
Dla Ucznia nauka zdalna liceum nauka zdalna portal
metoda podstawiania
Metoda podstawiania rozwiązywania układów równań z niewiadomymi x i y polega na wyznaczeniu z jednego równania niewiadomej np. y i podstawieniu jej do drugiego równania. Wówczas to drugie równanie staje się równaniem z jedną niewiadomą x, którą wyznacza się za pomocą znanych metod. Aby wyznaczyć niewiadomą y, podstawia się otrzymaną wartość niewiadomej x do równania, które opisuje y. Pary liczb (x, y) są rozwiązaniem układu równań.
rozwiązania równania kwadratowego
Rozwiązania równania kwadratowego ax2 + bx + c = 0 to:
x1 = −b − √Δ2a, x2 = −b + √Δ2a, gdy Δ > 0,
x0 = −b2a, gdy Δ = 0,
gdzie Δ = b2 − 4ac.
Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań, gdy Δ < 0.
równanie okręgu
Okrąg o środku S(a, b) i promieniu r > 0 ma równanie:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
1. Okrąg o środku w punkcie S (0, 2) i promieniu 3 ma równanie:
x2 + (y − 2)2 = 9
2. Okrąg o środku w punkcie S (−3, 5) i promieniu √2 ma równanie:
(x + 3)2 + (y − 5)2 = 2
środek odcinka w układzie współrzędnych
Środek odcinka AB o końcach A(xA, yA) i B(xB, yB) to punkt S(xS, yS), którego współrzędne są równe:
xS = xA+xB2, yS = yA+yB2
czyli S(xA+xB2, yA+yB2).
styczna do okręgu
Styczna do okręgu to prosta, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.
Prosta k jest styczna do okręgu w punkcie A.
sieczna okręgu
Sieczna okręgu to prosta, która ma dwa punkty wspólne z okręgiem.
Prosta k jest sieczną okręgu. Jej punkty wspólne z okręgiem to punkty A i B.