Logarytm – dowody

Liczby naturalne to: 0,1,2,3,4,\ldots 0, 1, 2, 3, 4, …
Liczby naturalne dodatnie to: 1,2,3,4,\ldots 1, 2, 3, 4, …
Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą {\upshape \mathbf{N}}. N.

Liczby niewymierne to liczby, które nie są wymierne (których nie można zapisać w postaci ilorazu liczby całkowitej i liczby całkowitej różnej od zera), np.\sqrt{2},\left.\right.\sqrt{3},\left.\right.\pi ,\left.\right.\left.\right.0,3127124943419342823479... √2, √3, π, 0, 3127124943419342823479...

Logarytm o podstawiea a z liczby logarytmowanejb b to wykładnikc, c, do jakiego należy podnieść podstawęa, a, aby otrzymać liczbę logarytmowanąb\textrm{:} b:
\textrm{log}_a\: b=c, loga​b  =  c, boa^c=b. ac  =  b.

Przykład:
\mathrm{\log _2}8=3, log2 8  =  3, bo2^3=8 23  =  8

Niecha, a, b, b, c c będą liczbami dodatnimi oraza\neq 1, a  ≠  1, n\in {\upshape \mathbf{N}}_+ n  ∈  N+ ip\in {\upshape \mathbf{R}}. p  ∈  R.

Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów:
\textrm{log}_{\textcolor{#005FD4}{a}}\mleft(b\textcolor{#E94D00}{\cdot }c\mright)=\log _{\textcolor{#005FD4}{a}}b\textcolor{#E94D00}{+}\: \textrm{log}_{\textcolor{#005FD4}{a}}\: c loga(b ⋅ c)  =  loga b +​loga​c

Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów:
\textrm{log}_{\textcolor{#005FD4}{a}}\: \textcolor{#E94D00}{\tfrac{\textcolor{#000000}{b}}{\textcolor{#000000}{c}}}=\log _{\textcolor{#005FD4}{a}}b\textcolor{#E94D00}{-}\: \textrm{log}_{\textcolor{#005FD4}{a}}\: c loga​bc  =  loga b −​loga​c

Logarytm potęgi można przekształcić w iloczyn:
\textrm{log}_{\textcolor{#005FD4}{a}}\: b^{\textcolor{#E94D00}{p}}=\textcolor{#E94D00}{p}\cdot \log _{\textcolor{#005FD4}{a}}b loga​bp  =  p ⋅ loga b

W szczególności:\textrm{log}_{\textcolor{#005FD4}{a}}\: \textcolor{#005FD4}{a}^{\textcolor{#E94D00}{p}}=\textcolor{#E94D00}{p}, loga​ap  =  p,
\textrm{log}_{\textcolor{#005FD4}{a}}\: \sqrt[{n}]{b}=\log _{\textcolor{#005FD4}{a}}\mleft(b\mright)^{\textcolor{#E94D00}{\frac{1}{n}}}=\textcolor{#E94D00}{\tfrac{1}{n}}\cdot \log _{\textcolor{#005FD4}{a}}b loga​n√b  =  loga(b)1n  =  1n ⋅ loga b